数学的三次危机是什么？

　　第一次危机是古希腊时期的无理数危机，当时的毕达哥拉斯学派认为万物皆数，并且所有的数都能表示成整数之比，但是后来学派内的人发现边长为一的正方形的对角线的长度不能表示成整数之比，实际上，这是历史上第一个被发现的无理数——√2。无理数的出现导致古希腊人认为数是不完美的，转而研究几何，并且诞生了古典世界最伟大的几何著作——《几何原理》。

　　第二次危机是18世纪微积分中无穷小量究竟为不为零的危机。牛顿在发明微积分的时候，定义了一个无穷小量，在推导过程中，把无穷小量看做一个非零的量，但是在取最后的值时又把无穷小量看做零。这就导致了关于无穷小量的逻辑矛盾。这就是所谓的微积分的基础不牢固的问题。后来，柯西，魏尔斯特拉斯建立了极限理论，通过极限来说明微分与积分的运算，抛弃了无穷小量。现在教科书中的无穷小量已经和牛顿时代的无穷小量不是一个概念了。

　　第三次危机是集合论悖论。20世纪，康托尔发明了集合论，数学大厦从此以集合论的语言重写，并且以集合论为基础。但是英国哲学家罗素提出了关于集合论悖论的罗素悖论，指出了集合论的不完备性。这个危机以哥德尔不完备性定理的提出而终结。哥德尔不完备定理指出从有限公理出发建立并蕴含自然数系统的理论体系必定存在既不可以证真，又不可以证伪的问题。

　　哥德尔不完备定理只是指出了现有数学体系的不完备性，并没有说现有的数学理论体系是错误的，数学仍然并将永远是一门伟大的学科。